Адно з найстарэйшых паселішчаў Палесся. Па дадзеных Пінскага краязнаўчага музея Асаўніца ўпершыню згадваецца ў складзе Пінскага княства ў 1495 годзе. Тут пражывалі сяляне, якія плацілі падатак непасрэдна вялікаму князю. 
   Аднак аб паходжанні назвы няма дакладных дадзеных. Толькі сярод жыхароў існуе паданне, якое тлумачыць паходжанне слова Асаўніца. Лічыцца, што Асаўніца пайшла ад старажытнага назвы дрэва асіна, якое сустракаецца ў Беларусі. Гэта пацвярджаецца і запісамі ў архівах 15 стагоддзя, сустракаюцца такія назвы, як "Асавы гай», «Асавы лес","...Асавік».
   Паводле пісцовай кнігі ў 1554 г. вёска ўваходзіла ў склад Дружылавіцкага двара. Землі, якія належаць гэтаму сялу восенню 1554 г., падзеленыя на валокі, а кожная валока на тры роўных поля. Кожная валока пазначаная невялікім ровам, зробленым сахой. Уладальнікі зямлі павінны будуць плаціць чынш, пачынаючы з 1556 г., калі прыбяруць на атрыманых землях жыта і іншыя збожжавыя. Пачынаюцца ўсе тры палі адным канцом ад рэчкі і леса Ельнікі і цягнуцца да імхоў і леса пад Моладавам. Супрацьлеглая мяжа першага поля пачынаецца ад засценку каля Дружылавіч і цягнецца да зноў збудаванай сцяны, даходзіць да вялікай мотальскай дарогі ў раёне млына і ўпіраецца ў лес. Сюды ж адносяцца і дубровы, прыдатныя для выкарыстання пад поле. 
   У XVI ст. у Пінскім павеце Трокскага ваяводства Вялікага Княства Літоўскага. З 1795 г. у складзе Расійскай імперыі, у Слонімскай, з 1797 г. у Літоўскай губерні. С 1801 г. у кобрынскім павеце Гродзенскай губерні. У 1807 г. маёнтак Асаўніцы, 109 дамоў, 29 валок зямлі, хлеў, вінакурня. У 1811 гаду вёска належыла Вікторыю Іосіфу Куржанецкаму і паказваецца прозвішча шляхціца Томаша Бржэўтоўскага. Сярод сялян сустракаюцца прозвішчы Катка, Піліпчук, Вільгоцкі, Янаў. Усяго ў вёсцы пражывала каля 173 сялян. 
   У 1866 г. в. Асаўніцы ў маёнтку памешчыка Язэпа Карынецкага (Замошша) у Асаўніцкай воласці. У Ведамасці аб колькасці прыходаў і імянныя спісы вернікаў праваслаўнага веравызнання па павету 1866 г. аб жыхарах вёскі адзначана: 51 двор, Мужчын - 206, жанчын - 214. Пражывалі дваранка Анна Іосіфаўна Жукоўская і аўстрыйскі подданы Вацлаў Блых.У 1885 г. вёска - цэнтр Асаўніцкай воласці, 55 двароў, 473 жыхароў, сваё праўленне, піцейны дом. 
   У 1905 г. у вёсцы-730, у імя 25 жыхароў. У 1910 годзе працавала пачтовая станцыя, у якой налічвалася 2 кані. З 1915 г. акупаваная нямецкімі, потым польскімі войскамі. У пачатку 1919 года, у выніку наступлення Чырвонай Арміі, вёска Асаўніца была вызвалена і там была ўсталяваная савецкая ўлада. Усе землі памешчыка былі абвешчаныя ўласнасцю народа, але давесці справу да канца не ўдалося. У сакавіку 1919 года савецкая ўлада ў Асаўніцы знішчыла памешчыцка-буржуазную ўладу Польшчы. З 1921 г. у складзе Польшчы, у 1924 г. у Мотальскай гміне Драгічынскага павета Палескага ваяводства, у вёсцы 126 будынкаў, 469 жыхароў. Дзейнічала школа (у 1934 г. – 80 вучняў). 
   У 1939 годзе в. Асаўніца ў складзе Савецкай Беларусі. На 12 кастрычніка 1940 г. вёска Асаўніца ў Маладоўскім сельскім савеце Іванаўскага раёна Пінскай вобласці, 170 двароў, 888 жыхароў, працавала пачатковая руская школа, каля вёскі былі знойдзеныя запасы торфу. У 1941-44 гг. акупаваная нямецка-фашысцкімі захопнікамі. Ад рук акупантаў загінулі 18 жыхароў вёскі. На франтах 2-й сусветнай вайны ў 1939-45 гг. загінулі або прапалі без вестак 37 воінаў-землякоў. 2 жніўня 1941 г. мужчын і дзяцей яўрэйскай нацыянальнасці вывелі з Моталя і каля в. Асаўніца расстралялі. Тады ж група яўрэяў была спалена ў хляве ў в. Асаўніца. Спачатку фашысты прымусілі яўрэяў выкапаць сабе ямы, а пазней мясцовае насельніцтва - закапаць загінуўшых.
   У 1944 годзе, пасля вызвалення Іванаўскага раёна ад нямецкіх войскаў, мужчынскае насельніцтва д. Асаўніца было мабілізавана ў Савецкую Армію. 
   Пасля перамогі ў Вялікай Айчыннай вайне да 1947 года ўсе, што засталіся ў жывых жыхары в. Асаўніца вярнуліся дадому.
   З 08  студзеня 1954 г. у Брэсцкай вобласці. Паводле перапісу 1959 г. 912 жыхароў, у сямігадовай школе ў 1961 г. навучалася 127 вучняў. У 1962-65 гг. у Драгічынскім раёне. Паводле перапісу 1979 г. 288 жыхароў.
   23 снежня 1949 г. у вёсцы створаны калгас «Маяк рэвалюцыі", які 11 снежня 1950 г. увайшоў у склад калгаса імя Сталіна (з цэнтрам у в. Моладава), 19 чэрвеня 1960 г. перайменаваны ў "Моладава", з 2003 г. вёска ў валоданні СВК "Моладава".
   У 2005 г. была базавая школа, фельчарска-акушэрскі пункт, клуб, бібліятэка, аддзяленне сувязі, магазін, 161 двор, 280 жыхароў.
   У 2019 годзе пражывае 182 жыхара.